Problem Statement
એક ગોળાકાર ફુગ્ગામાં હવા ભરતાં તેની ત્રિજ્યા $3\text{ cm/s}$ ના દરે વધે છે. જ્યારે ત્રિજ્યા $10\text{ cm}$ હોય ત્યારે તેના ઘનફળના વધવાનો દર શોધો. (The radius of a spherical balloon increases at $3\text{ cm/s}$. Find the rate of increase of its volume when the radius is $10\text{ cm}$.)
Verified Solution & Marking Scheme
આપેલ વિગતો અને સૂત્ર (Given data and formula)
ત્રિજ્યાના ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 3\text{ cm/s}$.
જ્યારે $r = 10\text{ cm}$.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.
સમય t ની સાપેક્ષે વિકલન (Differentiate with respect to t)
$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 \frac{dr}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$
કિંમતો મૂકી ગણતરી (Substitute values)
$\frac{dV}{dt} = 4\pi (10)^2 \times 3 = 4\pi (100) \times 3 = 1200\pi\text{ cm}^3/\text{s}$